Matematika Sd kelas 4 Semester 1

Hukum asosiatif, komutatif dan distributif

SK: Memahami dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan dalam pemecahan masalah
KD:  Mengidentifikasi sifat-sifat operasi hitung 
 

Hukum komutatif

"Hukum komutatif" artinya kita bisa menukar angka dan jawabannya tetap sama untuk penjumlahan, atau perkalian.

a + b  =  b + a
a × b  =  b × a

Contoh:

Kita dapat mempertukarkan untuk penjumlahan:

3 + 6 = 6 + 3

Kita dapat mempertukarkan untuk perkalian:

2 × 4 = 4 × 2

Hukum asosiatif

"Hukum asosiatif" artinya kita bisa saja mengelompokkan operasi bilangan dengan urutan berbeda (mis. mana yang akan kita hitung pertama kali) untuk :

(a + b) + c  =  a + (b + c)
penjumlahan

atau untuk perkalian:

(a × b) × c  =  a × (b × c)

Contoh:

Berikut:	(2 + 4) + 5  =  6 + 5  =  11
Jawabannya sama dengan:	2 + (4 + 5)  =  2 + 9  =  11

Berikut:	(3 × 4) × 5  =  12 × 5  =  60
Jawabannya sama dengan:	3 × (4 × 5)  =  3 × 20  =  60

Menggunakan:

Kadang lebih mudah menambahkan atau mengalikan dengan urutan berbeda:

Berapa 19 + 36 + 4?

19 + 36 + 4  =  19 + (36 + 4)  =  19 + 40 = 59

Atau dengan sedikit menyusun ulang:

Berapa 2 × 16 × 5?

2 × 16 × 5  =  (2 × 5) × 16  =  10 × 16 = 160

Hukum distributif

"Hukum distributif" yang TERBAIK dari semuanya, tapi perlu hati-hati.

Artinya kita akan dapat jawaban yang sama untuk:

• tambahkan bilangan kemudian kalikan, atau
• masing-masing kalikan terpisah kemudian tambahkan

Seperti berikut:

(a + b) × c  =  a × c  +  b × c

Contoh:

Berikut:	(2 + 4) × 5  =  6 × 5  =  30
Jawabannya sama dengan:	2×5 + 4×5  =  10 + 20  =  30

Berikut:	(6 - 4) × 3  =  2 × 3  =  6
Jawabannya sama dengan:	6×3 - 4×3  =  18 - 12  =  6

Menggunakan:

Kadang lebih mudah untuk memecahkan perkalian yang sulit:

Berapa 204 × 6?

204 × 6  =  200×6 + 4×6  =  1,200 + 24  =  1,224

Atau menggabungkan:

Berapa 6 × 16 + 4 × 16?

6 × 16 + 4 × 16  =  (6+4) × 16  =  10 × 16  =  160

Kita juga dapat menggunakannya untuk penambahan panjang:

Contoh: 6×7 + 2×7 + 3×7 + 5×7 + 4×7

6×7 + 2×7 + 3×7 + 5×7 + 4×7 = (6+2+3+5+4) × 7 = 20 × 7 = 140

Kesimpulan

Hukum komutatif:	a + b  =  b + a a × b  =  b × a
Hukum asosiatif:	(a + b) + c  =  a + (b + c) (a × b) × c  =  a × (b × c)
Hukum distributif:	(a + b) × c  =  a × c  +  b × c

Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah

01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah

{0,1,2,3,4,...}	=	Himpunan bilangan Cacah
{1,2,3,4,5,...}	=	Himpunan bilangan Asli

a. Sifat-sifat penjumlahan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:

-	Sifat komutatif	:	a+b = b+a
-	Sifat Asosiatif	:	(a+b)+c = a+(b+c)
-	Elemen Identitas pada Penjumlahan	:	a+0 = 0+a

b. Sifat-sifat pengurangan

Untuk setiap a,b,c,p,q, dan r bilangan cacah berlaku

1.	(a - b) + c = (a + c) - b	;	syarat:	a > b
2.	(a - b) + c = a - (b - c)	;	syarat:	a > b dan b > c
3.	a - b = (a + c) - (b + c)	;	syarat:	a > b
4.	(a - b) - c = (a - c) - b	;	syarat:	a > b dan (a-b) > c
5.	(a - b) - c = a - (b + c)	;	syarat:	a > b dan (a-b) > c
6.	a - b = (a - c) - (b - c)	;	syarat:	a > b dan b > c
7.	(a + b + c) - (p + q + r) = (a - p) + (b - q) + (c - r)	;	syarat:	a > p, b > q, dan c > r

c. Sifat-sifat perkalian

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku

-	Sifat Komutatif	:	a x b = b x a
-	Sifat Asosiatif	:	(a x b) x c = a x (b x c)
-	Sifat Distributif perkalian terhadap penjumlahan	:	(b + c) x a = (b x a) + (c x a)
-	Sifat Distributif perkalian terhadap pengurangan	:	a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
-	Unsur identitas pada perkalian	:	a x 1 = 1 x a = a
-	Sifat perkalian dengan bilangan Nol	:	a x 0 = 0 x a = 0
-	Sifat perkalian untuk urutan	:	Jika a < b, c ≠ 0, maka a x c < b x c

d. Sifat-sifat pembagian

1	Sifat bilangan nol dalam pembagian:
	Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r, bilangan cacah berlaku
	0 : a = 0 untuk a ≠ 0
	a : 0 = tidak didefinisikan
	0 : 0 = tidak tentu
2.	(a : b) : c = a : (b : c)	;	syarat:	b faktor dari a dan c faktor dari b.
3.	(abc) : (pqr) = a/p  x  b/q  x  c/r	;	syarat:	a, b, c, p, q, r merupakan bilangan-asli
				-  p faktor dari a
				-  q faktor dari b, dan
				-  r faktor dari c
4.	a : b = (ca) : (cb)	;	syarat:	c ≠ 0, dan b faktor dari a
5.	a : b = [a/c] : [b/c]	;	syarat:	b faktor dari a dan c faktor dari b
6.	(a : b) : c = a : (b : c)	;	syarat:	b dan c faktor-faktor dari a
7.	(a : b) : c = (a : c) : b	;	syarat:	b dan c faktor-faktor dari a
8.	Sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan:
	(a + b) : c = [a/c] + [b/c]	;	syarat:	c faktor dari a dan b
9.	Sifat distributif pembagian terhadap pengurangan:
	(a - b) : c = a/c  -  b/c	;	syarat:	a > b dan c faktor dari a dan b
10.	Jika a < b, c faktor dari a dan b, maka a/c  <  b/c

e. Sifat-sifat perpangkatan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:

1.	(a x b)c = ac x bc
2.	[a/b]c = ac : bc
3.	ab x ac = ab+c
	ab : ac = ab-c	; syarat:	b ≥ c,	(ab)c = abc
4.	Bilangan nol dalam perpangkatan
	0a = 0
	a0 = 1

f. Sifat-sifat penarikan akar

Untuk setiap a, b, c bilangan cacah berlaku